Metoda Laplace'a obliczania wyznaczników

Definicja 1: Dopełnienie algebraiczne

Niech \( A=(a_{ij}) \) będzie macierzą kwadratową stopnia \( n \), gdzie \( n\geq 2 \). Niech \( A_{ij} \) będzie podmacierzą stopnia \( n-1 \) powstałą z macierzy \( A \) poprzez skreślenie \( i \)-tego wiersza i \( j \)-tej kolumny. Liczbę

\( D_{ij}=(-1)^{i+j}\mathrm{det}A_{ij} \)

nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu \( a_{ij} \) macierzy \( A \).

Przykład 1:

Niech \( A \) będzie macierzą stopnia \( 3 \) postaci

\( A=\left( \begin{array}{rrr}-1&2&13\\2&0&-3\\1&1&4\end{array}\right). \)

Obliczymy dopełnienie algebraiczne elementu \( a_{2 3} \). Skreślamy zatem drugi wiersz i trzecią kolumnę macierzy \( A \), otrzymując macierz

\( A_{2 3}=\left( \begin{array}{rr}-1&2\\1&1\end{array} \right). \)

Wyznacznik macierzy \( A_{2 3} \) jest równy \( -3 \), zatem dopełnienie algebraiczne elementu \( a_{2 3} \) wynosi \( D_{2 3}=(-1)^{2+3}\cdot (-3)=3 \).

Twierdzenie 1: Rozwinięcia Laplace'a wyznacznika

Niech \( A=(a_{ij}) \) będzie macierzą stopnia \( n \), gdzie \( n\geq 2 \).

Dla dowolnej, ustalonej liczby \( i \), gdzie \( 1\leq i\leq n \), wyznacznik macierzy \( A \) jest równy
\( \mathrm{det}A=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}D_{ik}. \)
Powyższą równość nazywamy rozwinięciem Laplace'a względem \( i \)-tego wiersza.
Dla dowolnej, ustalonej liczby \( j \), gdzie \( 1\leq j\leq n \), wyznacznik macierzy \( A \) jest równy
\( \mathrm{det}A=\sum_{k=1}^{n}a_{kj}D_{kj}. \)
Powyższą równość nazywamy rozwinięciem Laplace'a względem \( j \)-tej kolumny.

Warto zwrócić uwagę, że zgodnie z powyższym twierdzeniem, wyznacznik macierzy jest równy rozwinięciu Laplace'a względem dowolnie wybranego wiersza bądź kolumny macierzy, podczas gdy definicja indukcyjna nakazuje wykonać rozwinięcie względem konkretnej (w tym przypadku pierwszej) kolumny macierzy.

Przykład 2:

Obliczymy wyznacznik macierzy

\( A=\left( \begin{array}{rrrr}1&-2&0&3\\-1&4&1&-2\\2&-1&0&3\\-2&1&2&0\end{array} \right). \)

Zauważmy, że w trzeciej kolumnie macierzy mamy dwa zera, zatem wygodnie będzie obliczać wyznacznik, wykorzystując rozwinięcie Laplace'a względem tej właśnie kolumny.

\( \mathrm{det}A= 0\cdot D_{1 3}+ 1\cdot D_{2 3}+ 0\cdot D_{3 3}+ 2\cdot D_{4 3}= \)

\( =0+1\cdot(-1)^{2+3}\cdot \left| \begin{array}{rrr}1&-2&3\\2&-1&3\\-2&1&0\end{array} \right|+0+2\cdot(-1)^{4+3}\cdot \left|\begin{array}{rrr}1&-2&3\\-1&4&-2\\2&-1&3\end{array}\right|= \)

\( =- (0+6+12-(6+3+0))-2\cdot (12+3+8-(24+2+6))= \)

\( =-(18-9)-2\cdot(23-32)=-9+18=9. \)

Niejednokrotnie przy obliczaniu wyznacznika wygodnie jest daną macierz przekształcić, stosując operacje nie mające wpływu na jej wyznacznik (zob.: twierdzenie Własności wyznacznika macierzy ).

Przykład 3:

Obliczymy wyznacznik macierzy

\( A=\left( \begin{array}{rrrr}1&-1&3&-2\\2&-3&1&-4\\-2&5&-6&3\\3&2&-1&1\end{array} \right). \)

Łatwo zauważyć, że mnożąc pierwszy wiersz przez \( -2 \), a następnie dodając go do drugiego wiersza, otrzymamy w drugim wierszu dwa zera, co znacznie uprości rachunki. Mamy zatem:

\( \left| \begin{array}{rrrr}1&-1&3&-2\\2&-3&1&-4\\-2&5&-6&3\\3&2&-1&1\end{array} \right|=\left| \begin{array}{rrr}w_{1}&\rightarrow &w_{1}\\w_{2}&\rightarrow &w_{2}-2w_{1}\\w_{3}&\rightarrow &w_{3}\\w_{4}&\rightarrow &w_{4}\end{array} \right.=\left| \begin{array}{rrrr}1&-1&3&-2\\0&-1&-5&0\\-2&5&-6&3\\3&2&-1&1\end{array} \right|. \)

Stosujemy następnie rozwinięcie Laplace'a względem drugiego wiersza, otrzymując

\( \mathrm{det}A=(-1)\cdot \left| \begin{array}{rrr}1&3&2\\-2&-6&-3\\-3&1&1\end{array} \right|+(-5)\cdot \left| \begin{array}{rrr}1&1&2\\-2&-5&-3\\-3&2&1\end{array} \right|= \)

\( =-1\cdot (-6-4+27-(36-3-6))-5\cdot (-5-8+9-(30-6-2))=140. \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka